Laplace方程式と境界値問題

複数の導体に電位や電荷を与えた場合、その導体で囲まれた空間内の電位分布を、与えられた境界条件を満足するように求めることを境界値問題を解くといいます。電位は Poisson 方程式あるいは Laplace 方程式を解くことにより決まります。

偏微分方程式の境界値問題を解くことは、解析解を求めるにしろ数値的に解くにしろ一般には困難ですが、ある特定の場合については比較的簡単に行うことができます。

今回は変数分離解が存在する場合を考えます。この場合、容易に解析解を求めることができますから、Laplace方程式と境界値問題に慣れてもらうことが今回の主題です。

a) Laplace方程式を解く（カーテシアン座標系）

次の問題を考えます。

x=0 と x=a に電極板が平行に置かれてあり、それぞれ陰極と陽極とします。陽極は電位 φ=φ₀ に保たれ、陰極は接地されてφ=0 になっています。陰極と陽極の間には、y=0 と y=b に導体板があり、これらも接地されています。 x-y 平面上ではこれら4枚の導体板によって長方形が形成されているものとして、この長方形内部の電位分布を求めなさい。

この問題は、Laplace方程式

を、与えられた条件

を満たすように解くことと解釈できます。 Laplace 方程式の一般解を求め上の条件を満たす解を作りその電位を Mathemtatica で描いてみます。

Laplace 方程式をを満たす電位φ(x, y) は今の場合、φ(x, y) = X(x) Y(y) と変数分離することが可能です。このとき、Laplace方程式は以下の 2つの常微分方程式

になります。ここで、α,β は α²+β²=0 を満たす(一般には)複素数です。 X(x)、Y(y)の一般解は指数関数になりますので、それを用いると電位φ(x,y)は以下のように書けます。

です。いま、α、β は α²+β²=0 を満たしさえすれば何でも良いのでパラメータとしての依存性を任意(未定)係数 A(α),B(α),C(β),D(β)、電位φ(x,y;α,β)の様にあらわに書いておきます。もっと一般にはいろいろな α、β の組合せを重ね合わせたものが一般解になります。

ここでは形式的に和の記号を使いましたが、一般には積分になることもあります。

さて、あとは任意係数を境界条件から決定してやるだけです。まず、条件式のうち一番目と三番目の φ(x,0)=0, (0<=x<=a) φ(0,y)=0, (0<y<b) より、C(β)+D(β)=0、A(α)+B(α)=0 が分かります。これを用いてD(β)、B(α)を消去すると、

更に二番目の条件式、φ(x,b)=0, (0<=x<=a)より e^{β b} - e^{-β b}=0 が得られます。この条件を満たすβは

となります。ここで n は整数(...,-2,-1,0,1,2,...)です。 βのn依存性をあらわに示すため添字をつけました。これから、 α²+β²=0 をもちいると、α はα_n= n π/ b です。もはや、α、βは連続的な値を取ることは出来ないようです。これらの条件をφ(x,y;α,β) に代入すると、

です。未定係数の積A(n π/b)C(i n π/b)や指数関数から Sinh、Sin関数への変換ででてくる係数はまとめてb_n とおきました。したがって第一、二、三の境界条件を満たす一般解は、 (上の解を可能なn(整数)について重ね合わせる事により)

となります。(負の整数についての和は正の整数についての和とまとめてしまって、未定係数b_nを再定義しました。)

最後に第四の境界条件 φ(a,y)=φ₀, (0<y<b) を代入すると、

となります。これは φ₀ をフーリエ級数展開したものとみなすことができます。 b_n は直交関数系の性質より

となって、これですべての係数を決定することができました。

具体的な値は定積分する必要があります。定積分は Mathematica では Integrate[ hogehoge, {y, 0, b} ] と表しますので、これを実行すると以下のようになります。

最後の入力にある //は関数の後置形（詳しくは説明しませんでしたが第1回で登場しました。）の意味で、

と同じことです。出力を見てそれを簡約化したい場合など、あとからつけたす時に便利です。また、 Integrate[hogehoge, {y, 0, b} ] はパレットを利用して

などと入力しても構いません。多少面倒くさいですが、見た目がわかりやすいと思います。

b) 視覚化

どんな解が求まったのか、いつものようにお絵描きしてみましょう。 a=1, b=2, φ₀=1 と取ります。

vn[ n, x, y ] は n 項目の電位成分です。これを使って電位φ(x, y)は

で表されますが、無限級数の和をそのまま計算することはできないので、 40 項目までの和で近似します。（40を cutoff と呼びます。） Mathematica では和を Sum[ hogehoge, {n,1,40} ] と書くので、

などとプロットできます。Sum[ ] もパレットを利用すれば、

と入力することができます。

陽極上の電位は φ(x, y)=φ₀ ( =1) のはずですが、上の図を見ると電位は1の周りでなんだかギザギザして見えます。これは、無限項の和を有限項の和で近似したために生じているのです。比較のために、和を20項目まででとめた場合と80項目まで取った場合で陽極上の電位をプロットしてみると、

となります。PlotStyleではグラフの色を指定しています。 cyan(明るい水色) が20項目までの和で近似した場合で、magenta(明るい紫) が80項目までの和で近似した場合です。80項目まで取ったほうが真の状態 φ(x, y) = φ₀ (=1) に近づいていることがわかると思います。なお両端でブレが大きいのは、与えた境界条件が両端では電位が0、それ以外では1という不連続なものだったからです。

第３回「電位の視覚化」で行ったように等電位面(ContourPlot) を見てみたり、第４回「電場の視覚化」で行ったように電位から電場を求めて電場の様子を見ることも出来ます。